Matematikte cebirsel olmayan herhangi bir reel sayıya aşkın sayı denir. Diğer bir deyişle, katsayıları tamsayı (ya da rasyonel) olan bir polinomun kökü olamayan reel sayılara aşkın sayı denir. Buradan, tüm aşkın sayıların irrasyonel olduğu sonucuna varılabilir. Ancak tüm irrasyonel sayılar aşkın sayı değildir, örneğin irrasyoneldir, ancak polinomunun bir köküdür. Aşağıdaki sayılar, aşkın olarak bilinir:

Pi Sembolü          Nedir Bu Pi Sayısı? Pi sayısı, bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde edilen sayıdır. Bu oran her daire için aynı değeri aldığından, π sayısı bir matematiksel sabittir.     Günlük kullanımda basitçe π ≈ 3,1416 olarak ifade edilmesine rağmen gerçek değerini ifade etmek için periyodik olarak tekrar etmeyen sonsuz sayıda basamağa ihtiyaç vardır. İlk 65 basamağa kadar ondalık açılımı şöyledir: 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

     Bir çemberin çapı 1 olduğunda, çevresi Pi’ye eşittir. Nedir Pi Sayısını Çekici Kılan? Pi, kültürel açıdan matematiksel sabitler içersinde en çok etki yaratanıdır. Bunu en basit nedenleri çok eskiden beri bilinmesi, çember gibi çok yaygın bir geometrik cisimle ilgili olmasi ise de bir başka nedeni de görünüşe göre bir kural izlemeyen ondalık açılımının insan aklını zorlayan kavranışıdır. Her ne kadar matematiksel açıdan π çok az bir gizem içerse de popüler kültürde bunun aksini işleyen eserler bolca mevcuttur. Ayrıca Eski Ahit’in bir bölümünde Pi sayısının değerinin 3 olduğu ima edildiğinden, kökten dinci hristiyanlar arasında π’nin değerinin okullarda 3 olarak öğretilmesini savunanlar da vardır.

      Pi Sayısının Adı Nerden Geliyor? Pi sayısı ismini, Yunanca περίμετρον yani “çevre” sözcüğünün ilk harfi olan π harfinden alır. Bu harf Latin Alfabesi’nde Pİ ile sembolize edilir. Ayrıca pi sayısı Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir. Pi Sayısının Tarihçesi Kaynaklar pi sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimedes tarafından kullanıldığını belirtir. Archimedes; pi sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve pi değerini 3+1/7 ile 3+10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu iki değer, pi sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir. Ancak Archimedes’in gençlik yıllarında Mısır’da uzun bir süre öğrenim gördüğü bilinmekte. Archimedes’in sağlığında İskenderiye’de Öklid’den ders aldığı, Öklid’in de Eski Mısır ve Mezopotamya Babil yöresinde uzun yıllar dolaşan bir matematikçi olduğu, bilinen tarihi bir gerçektir.

     İskenderiyeli tarihçi Herodot, metrika adlı eserinde pi sayısı için verdiği değer 3,71’dir. Bu değer, İskenderiyeli Heron’dan sonra gelen, eski Yunan ve ortaçağ matematikçileri tarafından farklı değerler kullanılmıştır. İskenderiyeli Heron’un verdiği yaklaşık değerin de, Mezopotamya menşeli olması ve Mezopotamyalılar’dan alınma takribi bir sonucu temsil etmesi muhtemeldir. Pi sayısı üzerinde, Babilliler’in çok eski zamanlardan beri, kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır.

    Genel olarak pi=3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde pi=3,125 değeri ne de rastlanılmıştır. Aydın Sayılı, adı geçen eserinde, “Mezopotamyalılar’da, idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum mevcuttur” der. Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken pi sayısı için, değerinin kullanılmış olduğunu belirtir. Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar.

     Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman pi=3,125 değerini uygularlardı. Ancak pi sayısının; Mısırlılar’ınkinden ve Susa tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, ilkin Archimedes tarafından bulunmuştur. Kaynaklar; Mezopotamyalılar, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve pi için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa’da bulunmuş olan tabletlerde pi için kabul edilen değerin 3,125 olduğu anlaşılmaktadır.

     Nasıl bir π sayısı? Örneğin : m ve n birer tam sayı olmak üzere, π’ nin değeri m/n şeklinde yazılabilir mi? yani π’ nin değeri rasyonel bir sayı mıdır? Başlangıcta, matematikçiler bu yönde ümitliydiler.π’ nin bu kadar çok ondalık kısmının hesaplanmasının nedenlerinden biri de, buydu herhalde. Matematikçiler bekliyorlardı ki, bir yerden sonra, basamaklar önceki değerlerini tekrar etsin, yani devirli bir ondalık sayı halinde yazılabilsin. Ama bu olmadı, Sonunda, 1761 yılında, İsviçre’li matematikçi Lambert, π’ nin irrasyonel olduğunu, yani dairenin çevresi ile çapının bir ortak ölçüsü olmadığını ispatladı.

π pi sayısına ait değerin, gittikçe daha fazla basamağını hesaplama tutkusunun yanısıra, matematikçilerin rüyalarına giren başka bir  problemi de, daireyi kare yapma problemiydi. Bu uğraşıya, kendilerini kaptıranların önderi Anaksagoras’tır (M.Ö. 500-428) Bir ara Atina’da, zındıklıkla suçlanıp hapse atılan Anaksagoras, burada can sıkıntısından, daireyi kare yapmanın yollarını aramaya başlar. Kendisinin çözdüğünü sandığı, bazı yaklaşık sonuçlar elde eder.

     Daha sonra, Kilyos’lu Hippokrates (M.Ö. 5. yüzyıllın ikinci yarısı) , aşağıdaki şekilde taranmış ACBA alanının, AOB üçgenin alanına eşit olduğunu gösterir Buna benzer başka örnekler gösterir ki, belli eğrilerle sınırlanmış, bazı bölgelerin alanlarına eşit alanda kareler çizilebilir. 18. yüzyılın sonlarından başlayarak, dairenin kare yapılmasının imkansız olduğu fikri, matematikçilere hakim oldu. Bu kuşku o kadar büyük ki, 1775 te, Paris Bilimler Akademisi, devr-i daim makinesi projeleri, açıyı pergel ve cetvel kullanarak üç eşit parçaya bölme yöntemlerinin yanısıra daireyi kare yapma yöntemlerini de, artık inceleme kararı aldı.

     1775 te Euler, 1794 te Legendra, π’ nin belki de, cebirsel bir sayı olmadığına, üstel bir sayı olması gerektiğine ilişkin inançlarını belirtirler. Fakat π’ nin üstel olduğunun kanıtlanması için, 100 yıl beklendi. Sonunda, 1882 yılında, Alman matematikçi Lindermann, π’ nin üstel olduğunu ispatladı.

M.Ö. 2000 : Eski Mısırlılar π = (16/9)2 = 3.1605 değerini kullanıyorlar.

M.Ö. 2000 : Mezopotamyalılar Babil devrinde π =3.125 değerini kullanıyorlar.

M.Ö. 1200 : Çinliler π = 3 değerini kullanıyorlar.

M.Ö. 550 : Kutsal Kitapta (I. Krallar 7 : 23) , π = 3 anlamına geliyor.

M.Ô. 434 : Anaksagoras daireyi kare yapmaya girişir.

M.Ô. 300 : Yılları, Archimides 3 + 1/7 < π < 3 + 10/71   olduğunu buluyor. Bundan başka yaklaşık olarak π = 211875/67441 kesrini de buluyor.

M.S. 200 : Yıllarında, Batlamyos π = (377/120) = 3.14166 değerini kullanıyor.

M.S. 300 : Yılları, Çüng Hing π = 3.166 değerini kullanıyor.

M.S. 300 : Yılları, Vang Fau π = (142/45) = 3.155 değerini kullanıyor.

M.S. 300 : Yılları, Liu Hui π = (471/150) = 3.14 değerini kullanıyor.

M.S. 500 : Yılları, Zu Çung-Çi 3.1415926< π < 3.1415927 olduğunu buluyor.

M.S. 600 : Yılları Hintli Aryabhatta π = (62832/2000) = 3.1416 değerini kullanıyor.

M.S. 620 : Hintli Brahmagupta π = (m/10) değerini kullanıyor. Bazı kaynaklarda da Brahmagupta’nın için  değerini kullandığı belirtilir.

M.S. 1200 : İtalyan Fibonacci π = 3.141818 M.S. 1436 : Semankant Türkü Giyasüddin Cemşid el Kaşi, π ‘yi 14 basamağa kadar elde ediyor. Bu değer bugünkü kabul edilen değere göre doğrudur.

M.S. 1573 : Valentinus Otho π = (355/113) = 3.1415929 olduğunu buluyor.

M.S. 1593 : Hollanda’lı Adriaen van Rooman π’yi 15 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1596 : Hollandalı Lodolph ve Cevlen π’yi 35 basamağa kadar hesaplıyor. (Bu nedenle Almanya’da sayısı, Lodolph sayısı diye de bilinir.)

M.S. 1705 : Abraham Sharp π’ yi 72 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1706 : John Machin π’ yi 100 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1719 : Fransız De Lagny  π’ yi 127 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1737 : Leonard Euler’in benimsemesiyle π sembolü evrensellik kazanıyor.

M.S. 1761 : lsviçreli Johaun Heinrich Lambert  π’ nin irrasyonelliğini kanıtlıyor.

M.S. 1775 : İsviçre’li matematikçi, L. Euler  π’ nin üstel olabileceğine işaret ediyor.

M.S. 1794 : Fransız Adrien-Marie Legendre  π’ nin ve 2 nin irrasyonelliğini kanıtlıyor.

M.S. 1794 : Vega π’ yi 140 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1844 : Avusturyalı Schulz von Strassnigtzky π’yi 200 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1855 : Richter π’ yi 500 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1874 : lngiliz W. Shanks  π’ yi 707 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1882 : Alman Ferdinan Lindemann π’ nin üstel bir sayı olduğunu kanıtlıyor.

M.S. 1947 : İlk bilgisayar ENİAC  π’ yi 2035 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1958 : F. Genuys tarafından, Chiffers I de yayınlanan makalede, π sayısının değeri 10.000 nci ondalık basamağa kadar hesaplanmıştır.

   e sayısı veya Euler sayısı, matematik, doğal bilimler ve mühendislikte önemli yeri olan sabit bir reel sayı, doğal logaritmanın tabanı.

   e sayısı aşkın bir sayıdır, dolayısıyla irrasyoneldir, ve tam değeri sonlu sayıda rakam kullanılarak yazılamaz. Yaklaşık değeri şöyledir: 2,718281828459… Matematiksel ifadelerde çok karşılaşılması yönünden bu sayı önemlidir.

   Tabiatta pek çok faaliyet aşağıdaki karekteristiğe sahiptir. Herhangi bir büyüklüğün miktarında meydana gelen değişiklik büyüklüğün miktarına bağlıdır. Bu, bir tabaktaki bakteri, radyoaktif madde miktarı veya elektrik akım miktarı olabilir. Her durumda da olayın gelişimi (k) değişim miktarını gösteren bir sabit olmak üzere dy/dt=ky şeklinde matematiksel olarak temsil edilir. Bu denklemin çözümü y=A·ekt şeklindedir. Burada A başlangıç şartlarına bağlı bir katsayıdır. Bu ifade y=A·exp (kt) olarak da yazılabilir ve bu tür ifade, k’nin pozitif veya negatif olmamasına bağlı olarak kuvvet (eksponansiyel) artma veya azalma olarak isimlendirilir. e veya exp (kt) olarak yazılan üstel (eksponansiyel), fonksiyon kimyanın pekçok dalında ortaya çıkar. e’nin kuvvetleri ve e’i taban alan logaritma (tabii logaritma) değerleri tablolaştırılarak kolay kullanılır duruma sokulmuştur.

       e sayısının rastlanmasına pratik bir misal olarak bir lira % 100 faiz altında bir yıl sonra iki lira olur. Ancak faizler altı aylık hesaplanırsa bir yıl sonra 2,25 lira olarak ortaya çıkar. Eğer faiz üç aylık hesaplanır ise bu sonuç 2,37 civarındadır. Ancak faiz hesaplama süresi azaldıkça sonuç e=2,718… değerine yaklaşır.

     e sabitine dolaylı olarak ilk değinen İskoç matematikçi John Napier olmuştur. Napier, 1618’de logaritmalar üzerine yayımladığı bir kitabın ekinde, e sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır;fakat sabitin kendisiyle fazla ilgilenmemiştir. e sayısını gerçek anlamda ilk keşfeden Jakob Bernoulli olmuştur. Bernoulli, e sayısını 1683’te birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının yaklaşık değerini hesaplamıştır. Sabite e ismini veren ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’dir. Euler ilk olarak 1731’de Christian Goldbach’a yazdığı bir mektupta bu sabitten “e sayısı” diye bahsetmiştir. Euler öncesi ve sonrasında bu sabit için b ve c harfleri de kullanılmışsa da sonuçta kabul edilen isim e olmuştur. Euler e sayısını, virgülden sonra 23. basamağına kadar hesaplayabilmiştir. Günümüzde ise e sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir. e,nin irrasyonel bir sayı olduğu Euler tarafından,aşkın bir sayı olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır.

     Birleşik faiz problemi Jakob Bernoulli,e sabitini birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiştir. Bu problem, basit bir örnekle anlatılabilir. Elinde 1 lirası olan bir yatırımcı, parasını yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa,bir sene sonra 2 lirası olacaktır. Diğer yandan bu yıllık faiz %50 – %50 şeklinde yılda iki kez işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + ½)² = 2,25 lira olacaktır. Benzer şekilde eğer faiz yılda dört kez %25 oranında işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + 1/4)4 = 2,4414… lira olacak, faiz her ay %8,333… oranında işlerse yıl sonundaki para (1 + 1/12)12 = 2,6130… lira olacaktır. Faizin işleme süresini daha da kısaltırsak, her hafta işleyen faiz yıl sonunda 2,6925… lira, her gün işleyen faiz yıl sonunda 2,71453… lira verecektir.

     Faizin işleme süresi kısaldıkça, yıl sonundaki para 2 ve 3 arasında belli bir değere yakınsamaktadır. Yukarıdaki 3 numaralı tanımdan da görüldüğü üzere yakınsanan değer e sayısıdır. Bernoulli denemeleri e sayısı olasılık kuramında da çeşitli şekillerde karşımıza çıkar. Örneğin bir kumarcı, kazanma şansı 1/n olan bir oyunu n kere oynarsa, yaklaşık 1/e (%36,787…) ihtimalle hiçbir seferde kazanamayacaktır. n ne kadar büyükse, hiç kazanmama ihtimali 1/e,ye o kadar yakın olur. Kumarcının n seferde k kere kazanma olasılığı, binom dağılımına göre aşağıdaki değere eşittir:

     Buna göre, n seferde k = 0 kere kazanma olasılığı, (1 – 1/n)n dir, ve bu ifade, n büyüdükçe 1/e,ye yaklaşır. Şapka problemi Bir restorana giren ve girişte şapkalarını vestiyere bırakan n tane müşteri düşünelim. Vestiyer, şapkalara etiket takmayı unutunca hangi şapkanın hangi müşteriye ait olduğunu unutuyor, ve çıkışta şapkasını isteyen her müşteriye rastgele bir şapka seçip veriyor. Bu durumda, n müşteriden hiçbirinin kendi şapkasını almaması olasılığı, aşağıdaki toplama eşittir:

     Müşteri sayısı n büyüdükçe, bu toplam 1/e değerine yaklaşacaktır.

     1. e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:

     2. e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır: Buradaki logex ifadesi, e tabanlı logaritmayı temsil etmektedir.

     3. e sayısı, aşağıdaki limite eşittir:

     4. e sayısı, aşağıdaki sonsuz toplama eşittir: Buradaki n! ifadesi, n faktöriyeli temsil etmektedir: n! = 1 × 2 × 3 × … × n.

5. e sayısı, aşağıdaki integral denklemini sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır: