Fibonacci Dizileri ve Altın Oran. Doğadaki Matematik…

     Dünyanın, insanların, bitkilerin, ağaçların…, kısacası Kainat’ın yaratılışında Yaratıcının kullandığı orandır. Aynı zamanda insanlar da teknolojide ve hayatta bu oranı kullanmaktadırlar. Kısaca biz altın orana “göz nizamının oranı” diyebiliriz.

     Çoğu zaman doğayı gözlediğimizde bu oranın varlığını görebiliriz. Altın oranın görüldüğü ve kullanıldığı yerleri şöyle sıralayabiliriz:

•Ayçiçeği’ nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı altın oranı verir.

•Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır.

•Deniz kabuklarına dikkat edenimiz, belki de koleksiyon yapanımız vardır. İşte deniz kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tanjantının altın oran olduğu görülmüştür.

•Verilen n tane dirençten maksimum verim elde etmek için bir paralel bağlama yapılması gerekir. Bu durumda Eşdeğer Direnç altın orana eğittir.

•Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.

•Her bir Mısır piramidinin tabanının yüksekliğine oranı altın oranı verir.

•Mona Lisa tablosunun boyunun enine oranı altın oranı verir.

Altın Oran Kaçtır?

     Altın Oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır. Ondalık sistemde yazılışı; 1.618033988749894… dür.  Bu oranın kısaca gösterimi: olur. Altın Oranın ifade edilmesi için kullanılan sembol, PHI yani Φ’dir. Altın oranın ondalık gösterimi: 1.61803398874989484820458683…

              TL Simgesi ve Altın Oran
TL Simgesi

   Türk lirasına kazandırılan itibarın perçinlenmesi ve dünyada bilinirliğinin artırılması amaçlarıyla paramıza bir simge kazandırmak üzere Merkez Bankası tarafından bir TL Simge Yarışması düzenlendi.

     Yarışma sonucunda Türk lirasını anlaşılabilir, özgün, estetik, elle yazımı kolay ve akılda kalıcı şekilde temsil edebilecek bir simge olarak () belirlendi.  Simgeyi hazırlayan kişi ise Tülay Lale oldu. TL simgesinde “güven” ve “istikrar içinde yükselen değer” kavramları ön plana çıkartılmış.

     Simgenin çıpaya benzemesi Türk lirasının kıymet saklama aracı olarak “güvenli bir liman haline geldiğini” vurgulanmış. Paralel çizgilerin yukarı eğimli olması ise, Türk lirasının ve Türkiye ekonomisinin “istikrar içinde yükselen değerini” simgelemekte. Tülay Lale TL Sembolünü Altın Oran kullanarak tasarlamış. Aşağıdaki resimlerden inceleyebilirsiniz.
TL Altın Oran

TL Sembolü ve Altın Oran

Altın Oran Resimleri

Karahindibağ ve Altın Oran

Salyangoz ve Altın Oran

Çiçek ve Altın Oran

Çiçek ve Altın Oran

Çiçek ve Altın Oran

Ay Çiçeği ve Altın Oran

Bitkilerde Altın Oran

Salyangoz ve Altın Oran

Altın Oran

Altın Oran

Altın Oran

Altın Oran

Altın

Altın Oran

Altın Oran

Altın Oran

     Her papatyanın ortasında saat yönünde 34 spiral varken, saat yönünün tersinde 21 spiral bulunur. Bu sayıların birbirine bölümüde 1.6’yı yani altın oranı verir.

Altın Oran

Altın Oran

Altın Oran

Altın Oran

     Bu kozalağın kabuklarının diziliminde saat yönünde 8 sıra kabuk pulu varken, saat yönünün tersinde 13 sıra kabuk pulu bulunur. Bu sayıların birbirlerine bölümü 1.6’yı yani altın oranı verir.
Çam Kozalağı ve Altın Oran

Altın Oran

Ay Çiçeği ve Altın Oran

Altın Oran

Altın Oran

Altın Oran

Altın Oran

Altın Oran

Her bitkinin yaprak dizilimi, yaprakların birbirinin üstüne gelmeyerek güneşi en iyi alabileceği matematiksel bir düzendedir.

                             Mikro Dünyada Altın Oran
     Geometrik şekiller sadece üçgen, kare veya beşgen, altıgen ile kısıtlı değildir. Bu saydığımız şekiller değişik şekillerde de biraraya gelerek yeni üç boyutlu geometrik şekiller oluşturabilirler. Bu konuda ilk olarak küp ve piramit örnek olarak verilebilir. Ancak bunların dışında, günlük hayatta hiç karşılaşmadığımız hatta ismini dahi ilk defa duyduğumuz tetrahedron (düzgün dört yüzlü), oktahedron, dodekahedron ve ikosahedron gibi üç boyutlu şekillerde vardır. Dodekahadron 13 tane beşgenden, ikosahedron ise 20 adet üçgenden oluşur.

   Bilim adamları bu şekilleri matematiksel olarak birbirine dönüşebileceğini ve bu dönüşümün altın orana bağlı oranlarla gerçekleştiğini bulmuşlardır. Miroorganizmalarda altın oran barındıran üç boyutlu formlar oldukça yaygındır. Birçok virüs ikosahedron yapısında bir biçime sahiptir. Bunların en ünlüsü Adeno virüsüdür. Adeno virüsünün protein kılıfı, 252 adet protein alt biriminin düzenli bir biçimde dizilmesi ile oluşur. İkosahedronun köşelerinde yer alan 12 alt birim ise beşgen prizmalar biçimdedir. Bu köşelerden diken benzeri yapılar uzanır. Virüslerin altın oranları bünyesinde barındıran formlarda olduğunu tespit eden ilk kişi 1950’li yıllarda Londra’daki Birkbeck Koleji’nden A. Klug ile D. Caspar’dır.(J. H. Mogle, et al., “The Stucture and Function of Viruses”, Edward Arnold, London, 1978.)

     Üzerinde ilk tespit yapılan virüs ise Polyo virüsüdür. Rhino 14 virüsü de Polyo virüsü ile aynı formu gösterir. Peki acaba virüsler neden biz insanların zihnimizde canlandırmasını bile zorlukla yapabildiğimiz, böyle altın orana dayalı özel bir formlara sahiptirler? Bu formların kaşifi A. Klug bu konuyu şöyle açıklıyor: “Caspar ile ben, küresel bir virüs kılıfı için optimum tasarımın ikosahedron tarzı bir simetriye dayandığını gösterdik. Böyle bir düzenleme bağlantılardaki sayıyı en aza indirir… Buckminster Fuller’in yarı küresel jeodezik kubbelerinden(Buckminster Fuller’in Jeodezik Kubbe tasarımları hakkında ayrıntılı bilgi için bakınız: Teknoloji Doğayı Taklit Ediyor, Biyomimetik, Harun Yahya, Global Yayıncılık, İstanbul.) çoğu da benzer bir geometriye göre inşa edilirler.

    Bu kubbelerin oldukça ayrıntılı bir şemaya uyularak monte edilmeleri gerekir. Halbuki virüs, bir virüs kılıfı, alt birimlerinin esnekliğinden ötürü kendi kendini inşa eder.”(A. Klug “Molecules on Grand Scale”, New Scientist, 1561:46, 1987.) Klug’un bu açıklaması çok açık bir gerçeği bir kez daha ortaya koymaktadır. Bilim adamlarının “en basit ve en küçük canlı parçalarından biri”(Mehmet Suat Bergil, Doğada/Bilimde/Sanatta, Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat Yayınları, 2.Basım, 1993, s. 82) olarak gördükleri virüslerde bile hassas bir planlama ve akıllı bir tasarım vardır. Bu tasarım, dünyanın önde gelen mimarlarından Buckminster Fuller’ın gerçekleştirdiği tasarımlardan çok daha başarılı ve üstündür.

       Dodekahedron ile ikosahedron, tek hücreli deniz yaratıkları olan ışınlıların silisten yapılma iskeletlerinde de ortaya çıkar. Işınlılar (radiolaria), her köşesinden birer yalancı ayak çıkan düzgün Dodekahedron gibi, bu iki geometrik formdan kaynaklanan yapıları, yüzeylerindeki çok çeşitli oluşumlarla birlikte değişik güzellikteki bedenleri oluştururlar.(Mehmet Suat Bergil, Doğada/Bilimde/Sanatta, Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat Yayınları, 2.Basım, 1993, s. 85) Büyüklükleri bir milimetreden daha küçük olan bu organizmalara örnek olarak, ikosahedron yapılı Circigonia Icosahedra ile dodekahedran iskeletli Circorhegma Dodecahedra’nın adları verilebilir.(Değişik ışınlı bedenleri için bakınız: “H. Weyl, Synnetry, Princeton, 1952.)

DNA’da, Fizikte, Uzayda, Kar Tanelerinde Altın Oran

 Canlıların tüm fiziksel özelliklerinin depolandığı molekül de altın orana dayandırılmış bir formda yaratılmıştır. yaşam için program olan DNA molekülü altın orana dayanmıştır. DNA düşey doğrultuda iç içe açılmış iki sarmaldan oluşur. Bu sarmallarda her birinin bütün yuvarlağı içindeki uzunluk 34 angström genişliği 21 angström’dür. (1 angström; santimetrenin yüz milyonda biridir) 21 ve 34 art arda gelen iki Fibonacci sayısıdır.

     Kar Kristallerinde Altın Oran Altın oran kristal yapılarda da kendini gösterir. Bunların çoğu gözümüzle göremeyeceğimiz kadar küçük yapıların içindedir. Ancak kar kristali üzerindeki altın oranı gözlerinizle göre bilirsiniz. Kar kristalini oluşturan kısalı uzunlu dallanmalarda, çeşitli uzantıların oranı hep altın oranı verir.(Emre Becer, “Biçimsel Uyumun Matematiksel Kuralı Olarak, Altın Oran”, Bilim ve Teknik Dergisi, Ocak 1991, s.16.)

     Uzayda Altın Oran Evrende, yapısında altın oran barındıran birçok spiral galaksi bulunur.

     Fizikte de Altın Oran…. Fibonacci dizileri ve altın oran ile fizik biliminin sahasına giren konularda da karşılaşırız: “Birbiriyle temas halinde olan iki cam tabakasının üzerine bir ışık tutulduğunda, ışığın bir kısmı öte yana geçer, bir kısmı soğurulur, geriye kalanı da yansır. Meydana gelen, bir, ‘çoklu yansıma’ olayıdır. Işının tekrar ortaya çıkmadan önce camın içinde izlediği yolların sayısı, ışının maruz kaldığı yansımaların sayısına bağlıdır.

     Sonuçta, tekrar ortaya çıkan ışın sayılarını belirlediğimizde bunların Fibonacci sayılarına uygun olduğunu anlarız.”(V.E. Hoggatt, Jr. Ve Bicknell-Johnson, Fibonacci Quartley, 17:118, 1979.) Doğada birbiriyle ilişkisiz canlı veya cansız pek çok yapının belli bir matematik formülüne göre şekillenmiş olması onların özel olarak tasarlanmış olduklarının en açık delillerinden biridir.

     Altın oran, sanatçıların çok iyi bildikleri ve uyguladıkları bir estetik kuralıdır. Bu orana bağlı kalarak üretilen sanat eser leri este tik mükemmelliği temsil ederler. Sanatçıların taklit ettikleri bu kuralla tasarlanan bitkiler, galaksiler, mikroorganizmalar, kristaller ve canlılar Allah’ın üstün sanatının birer örneğidirler.

     İşitme ve Denge Organında Altın Oran İnsanın iç kulağında yer alan Cochlea (Salyangoz) ses titreşimlerini aktarma işlevini görür. İçi sıvı dolu olan bu kemiksi yapı, içinde altın oran barındıran _=73 derece 43´ sabit açılı logaritmik sarmal formundadır.

     Sarmal Formda Gelişen Boynuzlar ve Dişler Filler ile soyu tükenen mamutların dişleri, aslanların tırnakları ve papağanların gagalarında logaritmik sarmal kökenli yay parçalarına göre biçimlenmiş örneklere rastlanır.

     Eperia örümceği de ağını daima logaritmik sarmal şeklinde örer. Mikroorganizmalardan planktonlar arasında, globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae ve trochida gibi minicik canlıların hepsinin sarmala göre inşa edilmiş bedenleri vardır.

İnsan Vücudu ve Altın Oran

     Sanatçılar, bilim adamları ve tasarımcılar, araştırmalarını yaparken ya da ürünlerini ortaya koyarlarken orantıları altın orana göre belirlenmiş insan bedenini ölçü olarak alırlar. Leonardo da Vinci ve Corbusier tasarımlarını yaparken altın orana göre belirlenmiş insan vücudunu ölçü almışlardır.

     Günümüz mimarlarının en önemli başvuru kitaplarından biri olan Neufert’te de altın orana göre belirlenmiş insan vücudu temel alınmaktadır. Sanatçılar, bilim adamları ve tasarımcılar, araştırmalarını yaparken ya da ürünlerini ortaya koyarlarken orantıları altın orana göre belirlenmiş insan bedenini ölçü olarak alırlar. Leonardo da Vinci ve Corbusier tasarımlarını yaparken altın orana göre belirlenmiş insan vücudunu ölçü almışlardır.

     Günümüz mimarlarının en önemli başvuru kitaplarından biri olan Neufert’te de altın orana göre belirlenmiş insan vücudu temel alınmaktadır. Bedenin çeşitli kısımları arasında var olduğu öne sürülen ve yaklaşık altın oran değerlerine uyan “ideal” orantı ilişkileri genel olarak bir şema halinde gösterilebilir.(J. Cumming, Nucleus: Architecture and Building Construction, Longman, 1985.) Aşağıdaki şemada yer alan M/m oranı her zaman altın orana denktir:  M/m=1,618 İnsan vücudunda altın orana verilebilecek ilk örnek; göbek ile ayak arasındaki mesafe 1 birim olarak kabul edildiğinde, insan boyunun 1,618’e denk gelmesidir.

     Bunun dışında vücudumuzda yer alan diğer bazı altın oranlar şöyledir: Parmak ucu-dirsek arası / El bileği-dirsek arası, Omuz hizasından baş ucuna olan mesafe / Kafa boyu, Göbek-baş ucu arası mesafe / Omuz hizasından baş ucuna olan mesafe, Göbek-diz arası / Diz-ayak ucu arası. İnsan Eli Elinizi derginin sayfasından çekip ve işaret parmağınızın şekline bir bakın. Muhtemelen orada da altın orana şahit olacaksınız. Parmaklarımız üç boğumludur. Parmağın tam boyunun İlk iki boğuma oranı altın oranı verir (baş parmak dışındaki parmaklar için).

     Ayrıca orta parmağın serçe parmağına oranında da altın oran olduğunu fark edebilirsiniz. (Mehmet Suat Bergil, Doğada/Bilimde/Sanatta, Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat Yayınları, 2.Basım, 1993, s. 87.)
     2 eliniz var, iki elinizdeki parmaklar 3 bölümden oluşur. Her elinizde 5 parmak vardır ve bunlardan sadece 8’i altın orana göre boğumlanmıştır. 2, 3, 5 ve 8 fibonocci sayılarına uyar.

        İnsan Yüzünde Altın Oran

    İnsan yüzünde de birçok altın oran vardır. Ancak bunu elinize hemen bir cetvel alıp insanların yüzünde ölçüler almayı denemeyin. Çünkü bu oranlandırma, bilim adamları ve sanatkarların beraberce kabul ettikleri “ideal bir insan yüzü” için geçerlidir. Örneğin üst çenedeki ön iki dişin enlerinin toplamının boylarına oranı altın oranı verir. İlk dişin genişliğinin merkezden ikinci dişe oranı da altın orana dayanır. Bunlar bir dişçinin dikkate alabileceği en ideal oranlardır. Bunların dışında insan yüzünde yer alan diğer bazı altın oranlar şöyledir:

Yüzün boyu / Yüzün genişliği,

Dudak- kaşların birleşim yeri arası / Burun boyu,

Yüzün boyu / Çene ucu-kaşların birleşim yeri arası,

Ağız boyu / Burun genişliği,

Burun genişliği / Burun delikleri arası,

Göz bebekleri arası / Kaşlar arası.

     Her uzun çizginin kısa çizgiye oranı altın orana denktir.

       Akciğerlerdeki Altın Oran

     Amerikalı fizikçi B. J. West ile doktor A. L. Goldberger, 1985-1987 yılları arasında yürüttükleri araştırmalarında(A. L. Goldberger, et al., “Bronchial Asymmetry and Fibonacci Scaling.” Experientia, 41 : 1537, 1985.), akciğerlerin yapısındaki altın oranının varlığını ortaya koydular. Akciğeri oluşturan bronş ağacının bir özelliği, asimetrik olmasıdır. Örneğin, soluk borusu, biri uzun (sol) ve diğeri de kısa (sağ) olmak üzere iki ana bronşa ayrılır. Ve bu asimetrik bölünme, bronşların ardışık dallanmalarında da sürüp gider. (E. R. Weibel, Morphometry of the Human Lung, Academic Press, 1963.) İşte bu bölünmelerin hepsinde kısa bronşun uzun bronşa olan oranının yaklaşık olarak 1/ 1,618 değerini verdiği saptanmıştır.

 

Altın Oranın Değerini Nasıl Bulabiliriz

     Altın oranın değerini çeşitli yöntemlerle bulabiliriz.

     1. Metot: Bir AB doğru parçasını gözümüze hoş gözükecek şekilde, şekildeki gibi küçük parçanın ( [AC] ) büyük parçaya oranı ( [BC] ), büyük parçanın bütün doğru parçasının tamamına oranına eşit olacak şekilde bölelim.

     Bu ifadeyi denkleme dönüştürüp, denklemi çözecek olursak,

     CB / AC = AB / CB = 1.618 olur. Bu da phi diye tanımladığımız altın oranı verir.

     2. Metot: Hesap Makinesi Metodu 1. Birinci Hesap Makinesi Metodu: İlk olarak hesap makinesinde 1 tuşlayıp onun çarpmaya göre tersini alalım. Daha sonra bulduğumuz değere 1 ekleyip tekrar tersini alalım. Bu işleme, ekranda görünen sayının değeri değişmeden belli bir sayıya yaklaşana kadar devam edelim. Bu durumda sayılar birbirine çok yaklaşıp en son yaklaşık olarak 1.61803… sayısına yaklaşır. Bu sayı bize altın oranın değerini verir. 2. İkinci Hesap Makinesi Metodu: İkinci hesap makinesi metodunda ise, makinede herhangi bir rakam tuşlayıp (-1 den büyük olacak şekilde) o sayının karekökünü alalım. daha sonra 1 ekleyip tekrar karekökünü alalım. Bu işleme birinci hesap makinesi metodunda olduğu gibi devam edelim. Yaklaştığımız sayı bize yine 1.61803…. sayısını verir ki buda altın orana eşittir.